Задачі з теми «Многокутники»

1.Мотивація  вивчення теми  «Многокутники»

  Знання про многокутники необхідні людям багатьох професій, зокрема фрезерувальникам, токарям, слюсарям, столярам, механікам, кравцям, єгерям агрономам, обліковцям, садівникам, дорожникам, будівельникам та ін.

      Вони часто зустрічаються із задачами подібними до запропонованих:

1.Яким має бути найменший діаметр кругової колоди, щоб із неї можна було виготовити брус, поперечним перерізом якого є правильний трикутник зі стороною 15см?

2.Визначити діаметр колеса електровоза, якщо на відстані 219,8м воно робить 50 обертів.

3. Як виконати зображення правильного многокутника з довільною довжиною сторони?

4. Фрегат на полі має довжину 300м. Яку площу поля зрошує фрегат, обійшовши по колу один раз?

5.Поле має форму прямокутника розміром 800м*1000м. Частина поля, яка зрошується фрегатом довжиною 400м, засіяна капустою, а решта – гречкою. Яку площу займає гречка?

6.Катлаван для вирощування риби має форму круга, радіусом 20м. Навколо нього слід поставити огорожу із сітки-рабиці. Скільки рулоні сітки потрібно придбати для цього, якщо в одному рулоні 10м сітки?

    На ці та інші запитання учні можуть дати відповідь після успішного вивчення теми «Многокутники». До того ж окремі задачі учні можуть розв’язувати  під час самостійної роботи по даній темі.

Тренувальнві завдання з теми «Многокутники» (9 клас)

    У  таблиці  подані  задачі  для  самостійного  розв’язування  по  даній  темі після опрацювання теоретичного матеріалу. На допомогу учневі до кожної задачі подані вказівки та відповіді. Окремі задачі є розв’язані у підручнику «Геометрія 9 клас»  (Геометрія : Підручник для 9кл. середніх  загальноосвітніх навчальних закладів/ А.Г. Мерзляк, В.Б. Полянський, М.С. Якір.:  - Харків: Гімназія, 2009.- 271с.: іл..)

№	Задача	Вказівка	Відповідь
1	Визначте кількість сторін правильного многокутника, центральний кут якого дорівнює: 1) 900;   2) 720;   200.	Використати формулу 3600/ п	1)4; 2) 5 3)18
2	Знайдіть кути правильного п-кутника, якщо:  1) п=5;   2) п=6;   3) п=10.	Використати формулу для визначення внутрішнього кута многокутника	1) 1080; 2)1200; 3) 1440

3	Визначте кількість сторін правильного многокутника, внутрішні кути якого дорівнюють: 1) 1200;    2) 1080;   3) 1500.	1.Дивись вказівку до задачі 2. 2.Розвязати отримане рівняння зі змінною, користуючись основною властивістю пропорції	1) п=6; 2) п=5; 3) п=12
4	Знайдіть периметр правильного многокутника зі стороною 5см і внутрішнім кутом 1440	Використати вказівку зі  задачі 3	50см
5	Знайдіть радіус кола:    а) вписаного в правильний трикутник зі стороною 8√3см;    б) описаного навколо квадрата з площею 16см2;    в) вписаного в правильний шестикутник із периметром 36√3см	Використати формули для радіусів вписаних та описаних кіл	а)4см б) 2√2см в) 9см
6	Знайдіть:      а) площу  правильного шестикутника, вписаного  в коло, якщо площа квадрата, описаного навколо кола, дорівнює 64см2;	1.Визначити r4 2.Врахувати, що r4=R6  та, використовуючи формулу для R6,  визначити а6 3.Визначити площу S6 як площу шести правильних трикутників	1)3а2√3        2
	б) площу квадрата, описаного навколо кола, якщо площа правильного трикутника, вписаного в це коло, дорівнює 9√3см2.	1.Визначити а3 із формули для площі правильного трикутника. 2. Враховуючи, що R3 = r4, записати вираз для обчислення а4. 3. Обчислити площу квадрата за відомою формулою: S=a2	2)48см2
	в) радіус кола, описаного навколо правильного шестикутника, якщо радіус  кола, вписаного в цей шестикутник, дорівнює 8√3см.	1.Визначити а6 із формули для r6. 2.Враховуючи, що R6 =r6, записати відповідь	16см
7	Побудуйте правильний шестикутник із периметром 12см. Обчисліть площу побудованого шестикутника.	Визначити площу шестикутника як суму шести площ   правильних трикутників	6√3см
8	Побудуйте коло радіуса 3см. Для цього кола побудуйте правильні вписаний і описаний шестикутник та обчисліть відношення їх площ. Чи залежить воно від довжини радіуса кола?	1.Визначити через радіус кола сторони вписаного і описаного шестикутників 2.Визначити площі цих шестикутників 3.Обчислити відношення площ шестикутників	4:3, Відношення площ не залежить від радіуса
9	Знайдіть : 1) довжину кола, радіус якого дорівнює 6см;    2) радіус кола, довжина якого дорівнює 12,56см	Використати формули для довжини кола C = 2π R	1)37,68см 2) 2см
10	Знайдіть довжину кола:    а) вписаного у квадрат з площею 144см2;	1) Визначити а4 із формули площі квадрата; 2)Визначити r4; 3) обчислити С	37,68см
	б) описаного навколо рівностороннього трикутника зі стороною 4√3см	Визначити R3 , знаючи а3. 2)Обчислити С	25,12см
	в) описаного навколо правильного шестикутника з периметром 30см	1)Визначити а6 2)Врахувати, що R6=а6 і визначити С	31,4см
11	Знайдіть довжину дуги кола радіуса R, якщо її градусна міра дорівнює:   1) 900;  2) 1350;  3) 3400.	Використати формулу довжини дуги	1) 1,57R 2) 3πR/4 3) 17πR/9
12	Знайдіть довжину кола:    а) вписаного в трикутник зі сторонами 8см, 26см і 30см;	1.Знайти площу трикутника за формулою Герона. 2.Визначити R= авс/4S 3.Обчислити С	102,05м
	б) описаного навколо прямокутника зі сторонами 6см і 8см;	1.Знайти довжину діа-гоналі прямокутника за теоремою Піфагора 2. Врахувати, що  радіус R дорівнює половину діагоналі, та обчислити С	15,7см
13	Довжина кола циркової арени дорівнює 75,36м. Знайдіть площу арени	1.Знайти R арени  із формули для довжини кола. 2. Обчислити площу круга	452,16м2
14	Знайдіть площу круга:    а) вписаного в правильний шестикутник зі стороною 8√3см;	1.Визначити r6 2.Обчислити площу круга	452,16см2
	б) описаного навколо квадрата з периметром 12√2см.	1.Знайти сторону квадрата із периметра 2.Обчислити R4 через а4 3.Знайти площу круга	28,26см2
15	Знайдіть площу кругового сектора з радіусом R і дугою ά, якщо:    1) R =9,  ά =1200;   2)  R =8,     ά =2250;    3)  R =12,  ά =150.	Використати формулу для площі сектора	1)    27π 2)    40π 3)    6π

5. Самостійна робота по темі «Многокутники»

Середній рівень

1.Знайдіть кількість сторін правильного многокутника, якщо його кут дорівнює 160⁰. ( 18)

2.Чому дорівнює центральний кут правильного дванадцятикутника? ( 30⁰)

3.Скільки сторін має многокутник, якщо сума його внутрішніх кутів дорівнює 900⁰? (7)

4.Знайдіть довжину дуги кола, градусна міра якої дорівнює 175⁰, якщо радіус кола – 6см?  (5,8π см )

5.Яку частину площі круга становить площа сектора, центральний кут якого дорівнює 160⁰?  ( 4/9 )

Достатній рівень

1. Радіус кола , вписаного в правильний шестикутник дорівнює 1,5см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо нього.  ( √3см )

2.Вписаний в коло кут, який дорівнює 40⁰, спирається на дугу завдовжки 8см. Яка довжина даного кола?    ( 36см )

3.Якою має бути довжина хорди кола, радіус якого дорівнює R, щоб довжини дуг, на які кінці цієї хорди поділяють коло, відносилися як 2:1?   (R√3 )

4. Токар повинен сточити вал діаметром 142мм так, щоб площа його поперечного перерізу зменшилася у 1,5 рази. На скільки зменшиться діаметр?  (на 26мм )

5. Поле має форму прямокутника розміром 800м*1000м. Частина поля, яка зрошується фрегатом довжиною 400м, засіяна капустою, а решта – гречкою. Яку площу займає гречка?  ( 30га )

Високий рівень

1. Катлаван для вирощування риби має форму круга, радіусом 20м. Навколо нього слід поставити огорожу із сітки-рабиці. Скільки рулоні сітки потрібно придбати для цього, якщо в одному рулоні 10м сітки?     ( 13рулонів )

2. На 1м² висаджують 5 кущів петунії. Скільки кущів квітів необхідно виростити весною у теплиці, щоб озеленити шкільну клумбу круглої форми, діаметром 7м ?    ( 770шт. )

3. Скільки асфальту потрібно, щоб заасфальтувати дитячий майданчик круглої форми діаметром 20м? Витрати асфальту на 1м² становлять 50кг. (62,8т)

4.Сторони трикутника дорівнюють 25см, 29см і 36см. Знайдіть площу фігури, яка міститься між двома колами: вписаним у цей трикутник і описаним навколо нього.     ( 830м² )

5*.На прямокутному заводському дворі розміром 150х110м, заповненому будівлями , хочуть розбити круглий газон радіусом 5м. Там стоять 10 складів, розміри яких 20х20м, 4 цехи розміром 40х10м і кругле бензосховище радіусом 10м. Доведіть, що можна розбити цей газон незалежно від розташування будівель.    (Можна)

6. Контрольна робота по темі «Многокутники»

Середній рівень знань

1.Обчислити суму внутрішніх кутів опуклого 12-кутника. (1800⁰ )

2.Сторони  прямокутника дорівнюють 3см і 4см. Визначити довжину кола, описаного навколо цього прямокутника. ( 5π см )

3. Обчислити довжину дуги кола радіуса 6см, яка відповідає центральному куту 30⁰. ( π см)

4.Обчислити радіус кола, вписаного у правильний трикутник зі

стороною 20√3.  (10см)

5.У коло вписано правильний шестикутник, сторона якого дорівнює а. Знайдіть сторону трикутника, описаного навколо цього кола.  ( 2а√3)

Достатній рівень знань

1.Діагоналі ромба 30см і 40см. Обчислити відрізки, на які ділить сторону ромба точка дотику вписаного в нього кола. ( 9см і 16см )

2. Радіус кола, описаного навколо правильного трикутника , дорівнює 6√3см.

Знайдіть периметр трикутника. ( 54см )

3.Визначте кути опуклого п’ятикутника, якщо вони відносяться як 2:4:3:4:5.

( 60⁰, 120⁰, 90⁰, 120⁰, 150⁰ )

4.Знайдіть величини внутрішнього і зовнішнього кутів правильного восьмикутника. (135⁰, 45⁰ )

5.Знайдіть максимальне навантаження, яке може витримати латунна проволока, якщо діаметр її поперечного перерізу 2,5мм, а граничне навантаження  для латуні при розтягування становить 65кг на 1мм². 

( 319кг)

Високий рівень знань

1.Довжина кола, описаного навколо правильного многокутника, дорівнює 24π см, а довжина сторони многокутника – 12√3 см. Знайдіть кількість сторін многокутника. ( 3 сторони )

2.Знайдіть радіуси кіл, вписаного в квадрат та описаного навколо нього, якщо їх добуток дорівнює 4√2 см². Виконайте рисунок до задачі.  ( √2/2 см, 1см )

3. Перпендикуляр, опущений з вершини тупого кута рівнобічної трапеції на більшу основу, ділить її на відрізки 25см і 7см. Обчислити радіус вписаного кола. ( 12см )

4. В прямий кут вписано коло  з радіусом 5см. Обчисліть площу фігури, що міститься між сторонами цього кута і меншою дугою кола, обмеженою точками дотику кола до сторін кута.  (5,4 см² )

5. Вода тече по двом трубам з однаковою швидкістю. Перша труба має діаметр 20см, а друга – 15см. У скільки разів подача води в першій трубі більша, ніж у другій?  ( 1,8 рази )

  

7. Творче завдання по темі «Многокутники»

    

    З метою розширення знань з теми «Многокутники» пропоную тобі виконати одну з творчих робіт по даній темі:

1. « Многокутники у віршах »

2. « З історії многокутників »

3. « Многокутники та многогранники в геометрії шкільного курсу »